본문내용 바로가기

전체메뉴

고객센터 02-559-3929 평일 09~18시 점심 12~13시 (주말, 공휴일 휴무)
창의교육

창의교육 이야기

권역별 창의인성교육 거점센터의 활동성과 및 학교 현장의 교수학습법과 미래의 유망직업을 소개합니다. 

  • 작성자크레존
  • 등록일2019.12.09
  • 조회수530

우리나라 2015 개정 수학과 교육과정에서는 수학의 지식을 이해하고 기능에 숙달하는 것과 더불어 문제해결, 추론, 창의·융합, 의사소통, 정보처리, 태도 및 실전의 6가지 수학 교과 역량을 강조하고 있다. 또한, 창의·융합 역량을 ‘㉠수학의 지식과 기능을 토대로 새롭고 의미 있는 아이디어를 다양하게 산출해내고 이런 관점에서 문제를 바라보고 해석하며 ㉡수학을 내·외적 상황과 연결하고 활용하는 능력’으로 정의하고 있다. 이러한 정의에 따라 밑줄 친 ㉠과 ㉡을 연결하여 해석하면 학생들이 창의·융합 역량을 기르기 위해 무엇을 어떻게 해야 할지를 생각할 수 있다.

첫째, 상황과 수학을 연결하는 과정을 통해 수학의 지식을 이해하고 기능에 숙달할 필요가 있다. 2015 개정 수학과 교육과정에서도 수학교육의 목표를 ‘사회 및 자연 현상을 수학적으로 관찰, 분석, 조직, 표현하는 활동을 통하여 수학 개념, 원리, 법칙과 이들 사이의 관계를 이해하고 수학의 기능을 습득한다.’라고 제시하여 현상과 수학의 연결을 강조한 바 있다. 그러나 대부분의 수학 교과서나 수학 수업은 수학 개념을 가르치고 이를 이용하여 상황을 해석하도록 하고 있다.

둘째, 수학을 내·외적 상황과 연결하고 활용한다는 의미를 상황에서 수학으로의 연결, 수학 내에서의 연결, 수학에서 상황으로의 연결로 파악하고 이를 구체화하고 구조화할 필요가 있다.

셋째, 수학을 내·외적 상황과 연결하고 활용하는 과정에서 학생들이 새로운 아이디어를 다양하게 산출해내도록 하는 수업 방법을 고려할 필요가 있다.

창의·융합 역량을 기르는 주체는 학생이기 때문에 수학교육에서는 학생들이 새로운 아이디어를 산출해 내고, 수학을 내·외적 상황과 연결하고 활용하는 수업상황을 어떻게 만들 것인가가 중요하다. 이 글에서는 이러한 수업상황에서 중요한 수학적 연결성의 구조와 수학적 모델링 교수법에 대한 아이디어를 논의해 본다.

수학적 연결성의 구조

수학적 연결성은 문제해결, 추론과 증명, 의사소통, 표현과 더불어 NCTM(1989)에서 제시한 5가지 수학의 과정 중 하나이다. 수학적 연결성의 구조는 교과서의 구성이나 수학 수업의 구조화에 대한 논의를 위해서 하나의 수학 개념을 선수학습과의 연결, 상황과 개념의 연결, 개념 사이의 연결, 개념과 상황의 연결로 구조화한 것이다. 각 연결과정에서 수학적 표현 사이의 연결이 중요한 역할을 한다.

[그림 1] 수학적 연결성의 구조

선수학습과의 연결에서는 본질적인 연결고리와 수학적 방법 등이 중요하다. 예를 들어 삼각형의 외심의 선수학습으로 선분의 수직이등분선을 생각할 수 있다. 이때 핵심 연결고리는 삼각형의 외심은 삼각형의 세 꼭짓점으로부터 같은 거리에 있는 점이기 때문에 수직이등분선을‘두 점으로부터 같은 거리에 있는 점들의 집합’으로 이해하는 것이다. 수학적 방법은 세 점으로부터 같은 거리에 있는 점을 찾기 위해 두 점으로부터 같은 거리에 있는 점을 찾는 방법을 일반화하는 것이다.

상황과 개념 사이의 연결에서는 상황의 현실성(학생들의 입장에서), 상황에 포함된 수학적 요소(본질 또는 공통점, 관계 등) 찾기 등이 중요하다. 이를 위해 가르칠 수학 개념의 본질이 무엇인가를 먼저 분석해야 한다. 예를 들어 일차함수 개념의 본질은 변화율이 일정한 함수이며 이를 식으로 나타내면 일차식이고 그래프로 나타내면 직선이 된다. 변화율은 직선의 기울기이며, 일차항의 계수와 같다. 따라서 변화율이 일정하면서 학생들에게 의미 있는 현실 상황을 제시하고 이를 표, 식, 그래프로 나타내도록 한 후 상황에 내재한 특징 또는 성질을 탐구하도록 할 필요가 있다. 이러한 상황의 좋은 예로는 중학교 과학 교과서에 나오는 무빙워크, 에스컬레이터 등과 같은 속력이 일정한 운동이 있다. 상황에서 개념으로의 연결은 두 가지 측면에서 중요한 의미가 있다. 하나는 구체적인 맥락과 추상적인 수학을 연결함으로써 수학 개념의 이해를 돕고 수학에 의미를 부여하고, 다른 하나는 학생들이 상황을 능동적으로 탐구하여 상황에 내재하여 있는 수학의 본질을 찾아냄으로써 인간 활동으로서의 수학을 경험하게 하는 것이다.

수학 개념 사이의 연결은 개념 내의 연결과 개념 간의 연결로 구분할 수 있다. 개념 내의 연결은 개념의 수평적 위계 구조에 따른 연결을 의미하며, 다양한 표현 사이의 연결, 개념의 정의와 성질 사이의 연결, 개념적 지식과 절차적 지식 사이의 연결 등이 있다. 예를 들어 <중학교 수학2> 교과서의 평행사변형의 성질에서 평행사변형의 정의와 성질, 평행사변형이 될 조건은 평행사변형을 탐구하여 여러 가지 성질을 찾아낸 다음 성질 사이의 관계를 탐구하여 ‘두 쌍의 대변이 평행한 사각형’을 평행사변형의 정의로 선택하면 나머지는 성질이 되고 그 반대의 경우는 평행사변형이 될 조건이 됨을 동시적 연결로 이해할 필요가 있다. 수학 개념 간의 연결은 개념의 수직적 위계 구조에 따른 연결로 예를 들어 극한과 정적분, 여러 가지 사각형의 포함관계, 곱셈공식과 인수분해 공식의 연결 등이 있다.

수학과 상황 사이의 연결은 수학의 응용 또는 활용과 관련이 있다. 그러나 응용 또는 활용이 결과로서의 수학 개념을 이용하여 수학 외적 문제를 해결하는 것을 강조하는 반면, 수학에서 상황으로의 연결에서는 문제해결은 물론 수학 개념과 상황을 연결하여 이해하는 것을 포함하고 있다. 상황에서 수학 개념으로의 연결에서의 상황과 수학 개념에서 상황으로의 연결에서의 상황은 수학적으로 동치 구조로 되어 있다. 따라서 상황과 연결하여 수학 개념을 이해했다면 수학을 상황으로 연결하는 것이 더욱 용이해질 것이다.

수학적 모델링 교수법

실세계의 상황을 나타내기 위한 수학적 실재들 사이의 관계 및 조합을 수학적 모델이라고 하며, 수학적으로 이해하고자 하는 실제 상황에서부터 시작하여 상황을 묘사하고 문제를 형성하여 결론에 이르기까지의 전 과정을 수학적 모델링이라고 한다. NCTM에서는 수학적 모델링 과정을 실세계 현상→수학적 모델→수학적 결론→결론의 해석 및 예측으로 설명한다.

[그림 2] NCTM의 수학적 모델링 과정

프로이덴탈의 수학화 과정은 수학적 모델링 과정과 밀접한 관련이 있다. Klaoudatos(1994)는 De Lange가 제시한 ‘현실 세계→개념의 수학화→추상화와 형식화→응용의 수학화’라는 수학화 과정을 토대로 모델링 중심 교수법을 제안하였다([그림 3]). 모델링 중심 교수법은 세 단계 즉, 개념의 모델링, 수학 개념의 추상화와 형식화, 응용의 모델링으로 구성되어 있으며 본질적인 의미에서 De Lange가 제시한 수학화 과정과 동일한 구조이다. 모델링 중심 교수법에서 개념의 모델링 단계는 상황에서 수학 개념으로의 연결 과정에, 수학 개념의 추상화와 형식화는 수학 개념 사이의 연결 과정에 응용의 모델링은 수학 개념에서 상황으로의 연결 과정에 적용할 수 있다.

[그림 3] 모델링 중심 교수법
수학적 연결성과 수학적 모델링 교수법 그리고 창의·융합 역량

학생들이 창의·융합 역량을 기르기 위해서는 창의·융합 역량을 기를 수 있는 수업 상황을 제공해야 한다. 2015 개정 수학과 교육과정의 <교수·학습 방법>에서 창의·융합 역량을 함양하기 위한 교수·학습에서 강조할 사항을 세 가지로 제시하고 있다.

① 새롭고 의미 있는 아이디어를 다양하고 풍부하게 산출할 수 있는 수학적 과제를 제공하여 학생의 창의적 사고를 촉진한다.

② 하나의 문제를 여러 가지 방법으로 해결하게 하고, 해결 방법을 비교하여 더 효율적인 방법을 찾거나 정교화하게 한다.

③ 여러 수학적 지식, 기능, 경험을 연결하거나 수학과 타 교과 또는 실생활의 지식, 기능, 경험을 연결·융합하여 새로운 지식, 기능, 경험을 생성하고 문제를 해결하게 한다.

수학적 연결성 구조와 이를 토대로 한 모델링 중심 교수법은 이러한 강조 사항을 구체화한 것으로 해석할 수 있다. 학생들의 수학 공부도 수학자들의 수학 연구 활동과 본질에서 다르지 않다. 수학자들이 수학을 창조하는 것처럼 학생들도 수학을 재발명할 수 있다. 추상성과 형식성, 계통성과 같은 수학의 특성 때문에 수학은 어렵다. 그러나 수학은 중요하다. 학생들이 수학의 중대성을 인식하고 즐거운 마음으로 수학에 도전할 수 있는 수학 수업 환경을 구축할 필요가 있다. 물론 학생들이 수학을 탐구하는 과정에서 실패할 수도 있을 것이다. 그러나 그 실패는 수학을 탐구하는 과정의 일부이며 실패 경험은 도전에 성공했을 때의 기쁨을 배가시키는 역할을 할 것이다. 학생들이 수학을 단편적인 지식이 아니라 연결된 구조로 이해하고 스스로 그 연결성 구조를 탐구한다면 학생들의 수학을 기반으로 한 창의·융합 역량이 길러질 것이다.

◈ 참고자료

  • 교육부 (2017). 2015 개정 수학과 교육과정, 교육부
  • 김은숙·조완영(출판준비중). 수학적 연결성 기반 일차함수 단원의 수학교과서 분석
  • 장홍석·조완영(2019). 수학적 모델링을 활용한 창의 수학교육 실현. 2019 창의교육 거점센터 운영 사업 중등 수학 창의교육 실천 프로그램 자료집
  • De Lange, J. (1987). Mathematics-insight and meaning. Utrecht: OW & DC.
  • Klaoudatos, N. (1994). Modelling-oriented teaching(a theoretical development for mathematics through the medelling process). Int. J. Math. Educ. Sci. Technol. 23(1), pp69-79.
  • NCTM (1989). Curriculum and evaluation standards for school mathematics. Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics.
조 완 영 (충북대학교)
소감태그 참여결과
소감태그별 랭킹
잠시 기다려 주시길 바랍니다.
퀵메뉴설정
로그인 하시면
퀵메뉴 설정가능합니다.
퀵메뉴설정
퀵메뉴가 설정되었습니다.