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창의교육

창의교육 이야기

권역별 창의인성교육 거점센터의 활동성과 및 학교 현장의 교수학습법과 미래의 유망직업을 소개합니다. 

  • 작성자크레존
  • 등록일2021.09.06
  • 조회수210

 

 

코로나 19로 인하여 원격수업이 본격적으로 도입되면서 학생과 교사는 스마트폰, 태블릿 PC, 컴퓨터를 이용한 학습에 익숙하다. 기존의 수학 교실에서 구현하기 힘들었던 공학적 도구를 기반으로 한 수학 학습이 가능 해졌다.

공학적 도구의 발전으로 이미 많은 나라에서는 수학의 교수·학습뿐 아니라 교육과정도 변화하고 있다. Sutherland(2007)는 디지털 기기의 발달로 전통적인 수학 주제는 사라지거나 줄어들고 있다고 하였다. 한편 새로운 수학 내용이 도입되기도 한다. 1980년대 러시아 수학 교육과정에서는 정보학을 새로운 수학으로 간주하여 도입하였다. 오늘날 홍콩, 러시아, 프랑스는 LOGO, 스프레드시트, CAS와 같은 소프트웨어를 교수·학습 상황에서 명시적으로 도입하였다. 최근 프랑스, 핀란드는 알고리즘, 프로그래밍 개념을 수학과 교육과정에 도입하기 시작하였다.

[그림 1]
(출처 : 이미지 투데이 https://www.imagetoday.co.kr)

한국도 <인공지능 수학>이 2015개정 수학과 교육과정 진로 선택 과목으로 추가되었다. 구체적인 내용은 2015 개정 교육과정 인공지능 수학 과목 시안 개발 연구보고서를 통해 확인할 수 있다. <인공지능 수학>의 목표는 지능정보사회의 핵심 기술인 인공지능과 관련된 수학을 이해하고, 실생활과 관련된 다양한 문제를 수학의 지식과 기능을 활용하여 합리적으로 해결하며, 수학의 가치를 이해하고 미래사회가 필요로 하는 역량을 기르는 것이다.

이에 <인공지능 수학>에서 다루는 인공지능 관련 내용은 실생활에서 자주 접하는 인공지능이 문제를 해결하는 과정으로 선정하였다. 인공지능은 입력된 자료를 분류하고 예측하며 최적화의 절차를 거쳐 문제를 해결한다. 이를 위하여 먼저 사람은 인공지능이 자료를 받아들여 내용을 판별하고 의사 결정을 내리기 위해서는 우선 자료를 디지털 정보로 표현하며 컴퓨터가 판단하기 쉬운 형태로 변형해야 한다. 인공지능은 자료와 정보를 바탕으로 패턴과 규칙을 추출하여 새롭게 대상을 분류하거나 대상의 행위를 예측하며 가장 적합한 의사 결정 모델을 찾기 위해 함수를 만들고 최적화하여 문제를 해결한다. 이 과정을 ‘인공지능과 수학’, ‘자료의 표현’, ‘분류와 예측’, ‘최적화’로 분류하여 그와 관련된 수학 내용을 정리하면 <표 1>과 같다.

<표 1> 인공지능을 이용한 문제 해결 과정에 활용되는 수학 개념

  관련된 수학 내용
인공지능과 수학 대수 진리표, XOR 문제
해석 알고리즘, 순서도
확률과 통계 베이즈 기반 확률적 방법
자료의 표현 대수 벡터, 행렬, 집합
해석 그래프
확률과 통계 정형 자료, 비정형 자료, 범주형 자료, 연속형 자료, 상대도수, 평균, 표준편차
분류와 예측 대수 회귀분석, 추세선, 결정계수, 코사인 유사도, 거리
해석 일차함수, 지수함수, 삼각함수, 시그모이드 함수
확률과 통계 통계적 확률, 조건부 확률, 산점도, 상관관계
최적화 대수 선형회귀, 공분산
해석 함수, 미분, 편미분, 다변수 함수
확률과 통계 조건부 확률, 분포

<인공지능 수학>은 2015 개정 수학과 교육과정의 바탕 위에서 고등학교 <수학> 이후에 학습하게 되므로 이러한 내용의 연계성을 고려하고 과목의 성격, 목표와 내용 구성 방향을 고려하여 내용을 제시하였다. 내용 체계표는 아래와 같이, <인공지능 수학>의 특성을 살려 ‘영역/핵심 개념’, ‘일반화된 지식’, ‘내용 요소’, ‘관련 학습 요소’의 네 가지 항목으로 제시하였다.

영역/핵심 개념 일반화된 지식 내용 요소 ※ 관련 학습 요소1)
인공지능과 수학 수학은 인공지능의 발전을 이끌어 왔으며, 인공지능 기술 전반에 활용되고 있다. ∙ 인공지능과 관련된 수학 ∙ 진리표
∙ 순서도
자료의 표현 수와 수학 기호는 자료를 효과적으로 표현할 수 있는 도구이고, 인공지능이 다루는 자료는 수학을 이용하여 표현된다. ∙ 텍스트 자료의 표현
∙ 이미지 자료의 표현
∙ 벡터
∙ 행렬
분류와 예측 인공지능을 이용하면 자료를 정리, 분석하고 패턴을 찾아 새로운 대상에 대한 분류와 예측을 할 수 있으며, 이때 확률과 함수 등이 활용된다. ∙ 자료의 분류
∙ 경향성과 예측
∙ 유사도
∙ 추세선
∙ 조건부 확률
최적화 인공지능은 자료를 기반으로 합리적인 의사 결정을 내리는 기술을 제공하고, 이때 주어진 자료에 가장 적합한 의사 결정 모델을 찾기 위해 함수를 만들고 최적화하여 문제를 해결한다. ∙ 최적화와 의사 결정 ∙ 함수의 극한
∙ 이차함수의 미분 계수
∙ 손실함수
∙ 경사하강법

<인공지능 수학>은 실생활의 다양한 문제 해결에 쓰이는 인공지능에서 수학이 어떻게 활용되는지 이해하는 데 초점을 둔다. 결국, 기존의 수학 과목들처럼 수학적 개념‧원리를 이해하고 이를 적용한 문제 풀이보다는 인공지능 사례에서 어떠한 수학 개념과 원리가 어떻게 쓰이는지 이해하고 이를 활용한 경험이 중요시되는 과목이라고 할 수 있다.

인공지능에서 수학의 유용성과 가치를 탐구하는 수업의 사례 인공지능은 예측에 활용될 수 있다. 수학에서도 예측을 위해 활용되는 개념 중의 하나가 함수이다. 일상생활에서 변하는 두 양 사이의 관계를 함수로 나타내는 경우가 많다. 주어진 과거의 데이터로 두 양 사이의 관계를 파악하면 앞으로 미래를 예측할 수 있다. 함수의 그래프를 이용하면 변화의 모습을 시각화 할 수 있기에 예측에 활용되며, 고등학교에서 함수를 미분하여 그래프의 개형을 그리는 방법을 학습한다. 아래의 두 문제 유형을 통해서 인공지능의 원리를 이해할 수 있다. 문제1은 주어진 일차함수에 값을 대입하여 해결할 수 있다. 문제 2는 주어진 정보로부터 일차함수를 찾아야 하는 문제와 한 걸음 더 나아가 찾은 새로운 함숫값을 찾는 문제이다.

일반적인 프로그래밍 문제1처럼 알고리즘(함수)이 주어진 상황(f(x) = 2x + 1)에서 함숫값 을 찾는 과정이라면 인공지능은 문제2처럼 주어진 정보(f(1)=2 ,f(2)=3)로부터 모델(함수 f(x)=ax+5 )을 찾고 이를 바탕으로 새로운 값을 예측(f(3))한다.

이처럼 수학의 문제와 인공지능이 예측하는 과정을 비교하여 설명할 수 있고 학생들은 수학의 유용성과 가치를 인식하며 수학 문제의 중요성을 깨닫는 기회가 될 수 있다. 실제 인공지능이 예측하는 과정은 위의 수학 문제보다는 복잡하다. 방의 개수와 집의 가격 데이터의 관계를 일차함수로 표현하는 과정을 예를 들면 방의 개수와 집의 가격의 실제 데이터는 2개보다 많으며 3개 이상의 데이터를 하나의 일차함수로 표현하지 못할 수 있다.

이를 그래프로 설명하기 위하여 인공지능 지도학습의 대표적인 예측 모델인 보스턴의 주택가격을 예를 들어 보자. 다음은 보스턴 지역의 방의 개수와 집값 데이터 506개를 실제 조사하여 그래프로 표현한 것이다. 보스턴 주택가격을 예측하기 위하여 506개의 데이터의 경향성을 잘 표현할 수 있는 모델(일차함수)을 찾아야 한다. 그래프에서 설명하면 506개 점을 모두 지나는 직선을 그릴 수 있어야 한다. 하지만 506개 점을 모두 지나는 직선을 그릴 수는 없다. 이때 506개의 데이터를 가장 잘 표현하는 직선을 찾는 방법에 대해서 학생들과 탐구할 수 있다.

실제 인공지능은 임의의 함수를 먼저 설정하고 이 함수로 예측한 데이터와 실제 데이터의 차이인 오차를 계산한다. 그리고 오차를 줄이기 위하여 함수를 수정해 나간다. 구체적으로 형태의 일차함수에서 의 값을 임의로 하나 정하고 오차를 계산하고 오차를 줄이는 방향으로 기울기인 를 지속적으로 수정하는 것이다. 이를 도식화하여 표현하면 아래의 그림과 같다.

이러한 내용을 시작으로 인공지능이 예측하는 원리를 수학적으로 탐구하였다. 실제 인공지능에 활용되는 수학은 이미지 자료를 표현하고 해석하기 위한 행렬, 경사하강법을 수학적으로 모델링하기 위한 극한, 미분계수 등이 있으며 학생들과 관련 주제를 탐구하였다.

실제 수업은 온라인 학급, 오프라인 학급 각 30명을 대상으로 각각 6차시 동안 진행하였다. 사용한 활동지와 학생들이 작성한 활동지의 예시는 아래와 같다.

인공지능 수학을 탐구하면서 학생들은 수학에 대한 가치와 유용성을 경험하는 기회가 되었으며 이는 학생들이 작성한 소감문으로 확인할 수 있었다.
첫 번째는 오프라인 학급에 참여한 한 학생의 소감문이며

두 번째는 온라인 학급에 참여한 학생의 소감문이다.
기존에 아주 얕은 지식 정도만 있던 인공지능에 대하여 이번 기회에 깊게 다루어 보면서 정확히 어떤 것을 인공지능이라고 하는 것인지 알 수 있게 되었다. 뿐만 아니라 인공지능에서 사용되는 수학적 원리에 대해 배우면서 우리가 교과 과정상에서 배우는 수학이 어떠한 방식으로 과학 기술에 접목될 수 있는지 직접적인 체험을 할 수 있어 교과 과정상의 수학에 대하여 더 깊은 관심을 갖게 되었다. 함수 이외에도 명제, 벡터, 확률, 극한, 미분 등 인공지능에 활용할 수 있는 소재는 많이 있는 편으로 <인공지능 수학>은 인공지능의 맥락에서 수학의 가치와 유용성을 경험할 좋은 기회가 될 것이다.

◈ 참고문헌

  • 이상구, 고호경, 김영록, 박정숙, 송석리, 오세준, 유연주, 이재화, 이종욱, 이화영, 최인용, 홍옥수 (2020). 2015 개정 교육과정 인공지능 수학 과목 시안 개발 연구, 한국과학창의재단 연구보고서 (BD20100001).
  • 오세준(2021). 십대들을 위한 좀 만만한 수학책. 맘에 드림.
  • Ferrara F., Pratt D., Robutti O. (2006), The role and uses of technology for the teaching and learning of algebra and calculus. In: Gutierrez A., Boero P. (eds) Handbook of research on the psychology of mathematics education: past, present and future. Sense Publishers, Rotterdam, pp. 237–274.
  • Sutherland R. (2007), Teaching for learning mathematics. Open University Press, Maidenhead.
오 세 준 (이화여자대학교 사범대학 부속 이화·금란고등학교 교사)
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